前一篇,我们讲了复利的计算,以及复合年化收益率。复利公式为

其中

  • FV为未来值
  • PV为现值
  • r为收益率
  • n对应投资周期
  • 收益率r和n对应周期应该一致,假若r是年化收益率,那n应该对应投资年限 基于该公式变形即得到复合年化利率公式

我们在做一个投资的时,最基本的关注点即为收益率,复合收益率公式适合计算那些一次性投入资金,经历一段时间后,再一次性连本带息的获取最终本金。比如我们花5000块买了一只股票,持有三年后卖出,得到10000块。这笔投资的收益率,即可通过复合年化利率公式算出。

但有些投资不是一次性的,比如基金定投,假设按月定投1000,定投三年,最终收益10000。我们显然无法用上述的复合年化利率公式直接算出。因为最初始的投资本金只有1000,我们同样不能把所有月份的投入求和来算本金,因为不同月份投入的资金在这个定投项目中的投资期限是不一样的,第一个1000块的投资期限是3年,第二个1000块的投资期限是2年11个月。那该如何计算这种类型的投资的收益?

复利公式是现值和终值的的换算方式,我们总可以基于终值和收益率,计算出其现值应该是多少。我们虽然不能用直接套用复利公式计算出基金定投场景下的收益率,但如果我们将这些不同时间点流入流出的资金,全部转换成现值,相当于将他们转化成同一时间点的资金,那我们期望求解的收益率,一定能使得,不同时间点的流出资金现值和流入资金的现值相同。基于此我们可以推导出,在多个不同时间点上有资金流动的投资项目,其真实的收益率计算公式。推导如下:

假设我们投资资金流动情况如下

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为了方便公式推导,d1、d2、d3、d4是发生资金流动时的日期变量,实际发生日期在后面的括号中。 f1、f2、f3、f4是资金流动的具体金额变量,具体金额在后面的括号中,负值表示资金流出,正直表示资金流入。我们期望计算的年化收益率为r。现值这个命名容易让初学者产生歧义。所以下面的推导,我们将现值换一种说法:将不同时间点的资金流动情况,换算成到同一个时间节点的金额。也即都d1那天的金额。

  1. 第一期流出的资金,其在d1那天的金额当然就等于100,因为其资金流出的日期就是d1。当然我们可以通过复利公式进行推导。由于我们计算的是年化利率,所以对应的复利公式中的时间周期,我们需要将其换算成年,将当前这笔资金流动的日期减去d1,除以365即得到年的数值。由于流出资金为负,所以该结果是负值
  2. 第二期是资金流入,转换成d1那天的金额为 ,由于是资金流f2是正值,所以该结果为正
  3. 第三期是资金流出,转换成d1那天的金额为,由于是资金流f3是负值,所以该结果为负
  4. 第四期是资金流入,转换成d1那天的金额为,由于是资金流f4是正值,所以该结果为正

按照我们之前得出结论。从d1这天算起,到d4这天,这笔投资的收益率肯定使得,所有流入资金换算到d1这天的金额,等于所有流出的资金换算到d1这天的金额。由于流出的资金为负,流入的为正。所以流入流出资金在d1这天对应的金额,其代数和也必为0.按照上述的推算表达式我们可以得出:


也即:

。本例的资金流动是4个日期,如果我们将其推广到任意日期,很容易得到通用的表达式:

通过该表达式计算的年化利率也叫内部收益率或者内部回报率(Internal rate of return,简称IRR),等式左边的表达式,又叫净现值。如何通过数学的方式,找到使净现值为0的回报率,又是另外一个话题了,这里不展开讨论。有许多工具可以计算IRR,比如excel。excel提供两个函数一个IRR和一个XIRR,前者计算资金流动发生日期拥有固定间隔的场景下的内部收益率。后者计算资金流动发生日期不那么固定的场景下的内部收益率。当然前者是后者的一个子集,我们可以直接使用excel中的XIRR公式,计算所有情况下的内部收益率。

复合收益率也可以用该公式计算,复合收益率的计算场景一般只对应发生两次的资金流动,第一次流动发生在资金投资的时候,第二次流动发生在投资结束时,也相当于内部收益率场景下的一个特例。

参考资料

https://www.zhihu.com/question/27277841

https://support.office.com/en-gb/article/xirr-function-de1242ec-6477-445b-b11b-a303ad9adc9d

https://www.personalfn.com/calculator/sip-calculator

https://economictimes.indiatimes.com/mf/analysis/how-to-calculate-sip-returns/articleshow/56018754.cms?from=mdr

https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-CAGR-and-the-Individual-Rate-of-Return

https://en.wikipedia.org/wiki/Internal_rate_of_return#Numerical_solution